Kalkulus - Grafik Fungsi

Halo semuanya..Kali ini saya akan membahas materi tentang Grafik Fungsi

Fungsi dan grafik fungsi

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan yang pertama selanjutnya disebut dengan daerah asal, Df, dan himpunan yang kedua disebut dengan daerah hasil Rf.

Notasi fungsiPada definisi fungsi f dengan aturan y = f(x) dituliskan dengan lambang :F : Df à Rf, y = f(x) yang berarti fungsi f memetakan x di Df ke Rf = { f(x) | x € Df }. Dalam hal ini, x dinamakan variabel bebas, y merupakan fungsi dari x yang nilainya tergantung dari x dinamakan variabel tak bebas.
Sedangkan untuk menyatakan nilai fungsi y = f(x) di titik x + a, digunakan simbol f(a). ada kalanya untuk menyatakan fungsi digunakan notasi-notasi yang lain, misalnya adalah :
Y + g(x), y = h(x), x = f(t), y = g(t).Sebagai ilustrasi misalnya diberikan, f(x) = x^2 – 4x, maka :F(3) = 3^2 – 4(3) = -3F(-2) = (-2)^2 – 4(-2) = 4F(a + h)^2 – 4(a + h) = a^2 + 2ah + h^2 – 4a – 4hGambar

                                                     

misalkan diberikan fungsi, f(x) = x^2 – 4x + 3, dihitung dan sederhanakan, [a] f(4), [b] f(4 + h), [c] f(4 + h) – f(4), [d] [f(4 + h) – f(4)] / h.
penyelesaian :[a]. f(4) = 4^2 – 4(4) + 3 = 3[b]. f(4 + h) = (4 + h)^2 – 4(4 + h) + 3 = 16 + 8h + h^2 – 16 – 4h + 3 = h^2 + 4h + 3[c]. f(4 + h) – f(4) = h^2 + 4h + 3 – 3 = h^2 + 4h[d]. f(4 +h) – f(4) / h = h^2 +4h / h = h(h + 4) /h = h

JENIS – JENIS FUNGSI1.   Fungsi LinearSuatu fungsi  disebut fungsi linear apabila fungsi tersebut ditentukan oleh , dimana ,  dan  bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus fungsi linear termasuk kedalam fungsi aljabar.



>Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
>Grafik di atas merupakan grafik fungsi linear karena memenuhi  syarat dan grafiknya berupa garis lurus>Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai
Grafik fungsi tersebut memiliki Domain dan Range.


·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi linear karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa garis lurus·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki Domain danRange

1.Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi kuadrat dibentuk oleh persamaan umum  dimana dan  bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Fungsi kuadrat termasuk kedalam fungsi aljabar.


Contoh II.1·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi kuadrat karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa parabola
·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi kuadrat ini terbuka ke atas karena mempunyai nilai dengan titik balik minimum = -14
·         Pembuat nol grafik kuadrat ini adalah 0,667 dan 5
·         Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain
o    Range


Contoh II.2·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi kuadrat karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa parabola
·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi kuadrat ini terbuka ke bawah karena mempunyai nilai a
·         Pembuat nol fungsi kuadrat ini adalah -0,42857142 dan -1,5
·         Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain
o    Range

Fungsi Pecahan :

1.   Fungsi PecahanFungsi pecahan kadang-kadang juga disebut sebagai fungsi rasional. Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh  dengan  dan  yang bisa merupakan fungsi linear, kuadrat atau bahkan polinom. Dengan syarat . Dan  merupakan bilangan Real ( ). Fungsi pecahan termasuk ke dalam fungsi aljabar.


Contoh 1·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi pecahan karena memenuhi bentuk dengan  dan  merupakan fungsi linear dan
·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai
·         Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain
o    Range


Contoh 2·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi pecahan karena memenuhi bentuk dengan  dan  merupakan fungsi kuadrat dan Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain
o    Range

I. Fungsi PolinonSuatu fungsi disebut sebagai fungsi polinom bila memenuhi  di mana   Grafik dari setiap polinomial dengan derajat 2 atau lebih adalah non-linear kontinu kurva. Fungsi Polinom termasuk fungsi aljabar.


Contoh .1·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi polinom derajat 3 karena memenuhi bentuk  di mana  bentuknya non-linear kontinu kurva.
·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain
o    Range

1.   Fungsi TrigonometriFungsi trigonometri adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut. Ciri fungsi trigonometri adalah  yang mengandung perbandingan trigonometri sepert sinus  cosinus , tangent , secan  cosecant , cotangentGrafik tersebut merupakan grafik perbandingan trigonometri sederhana.


Contoh .1·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi trigonometri karena nya mengandung perbandingan trigonometri, dan sumbu absis nya dinyatakan dalam bentuk Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai
·         Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain {
o    Range


Contoh V.2·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi trigonometri karena nya mengandung perbandingan trigonometri, dan sumbu absis nya dinyatakan dalam bentuk
·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain
o    Range 

Fungsi Identitas
Suatu fungsi  disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik baik absis maupun ordinatnya sama.



 Fungsi konstan


Contoh VI.1·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain
·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi identitas karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa garis lurus dimana titik absis sama dengan titik ordinat
·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi identitas ini juga dapat didefinisikan dengan pasangan berurut 
·         Grafik fungsi tersebut memiliki
o    Domain {
o    Range
OPERASI PADA FUNGSI

JIka ada dua fungsi:  f(x)  dan  g(x) ,  maka berlaku:1.  (f + g)(x)  =  f(x) + g(x)2.  (f – g)(x)  =  f(x) – g(x)3.  (f x g)(x)  =  f(x) . g(x)4. (f/g)(x) = f(x) / g(x) 5.   fⁿ(x)  =  [ f(x) ]ⁿ

Contoh :

Jika  f(x) = 2x – 3  dan  g(x) = 4 – x  maka tentukan:a. (f+g)(x)        b. (f – g)(x)      c. (f x g)(x)      d.(f/g)(5)         e. f²(-1)

Jawab:a.  (f + g)(x)  =  2x – 3   +   4 – x  =   x + 1b.  (f – g)(x)  =  2x – 3  –  (4 – x)  =   3x – 7c.  (f x g)(x)  =  (2x – 3) x (4 – x)  = –2x² + 11x – 12
d.  (f)²(x)  =  (2x – 3)² =  4x² – 12x + 9    ®  (f)²(-1) = 25

Fungsi Komposisi
(g o f)(x) = g(f(x)) , artinya:  f(x) masuk ke g(x)

Contoh:

Jika  f(x) = 2x – 5  dan  g(x) = 3x + 1tentukan:    a.  (f o g)(x)          b.  (g o f)(x)          c.  (f o g)(4)

Jawab:a.  (f o g)(x)  =  f(g(x))  =  2(3x + 1) – 5  =  6x – 3b.  (g o f)(x)  =  g(f(x))  =  3(2x – 5) + 1  =  6x – 14c.  (f o g)(4)  =  6 . 4 – 3  =  21

nah, buat latihan silahkan cobakan soal berikut …

A. Tentukan  (f o g)(x)  & (g o f)(1)  jika:            1.  f(x) = x² – 4  ,    g(x) = x + 3            2.  f(x) = x² – x – 6  ,    g(x) = x² + 2B. Tentukan  f(x – 2)  jika:            1.  f(x) = 3x + 7            2.  f(x) = x² + x – 12C. Tentukan f(x)  jika:            1.  f(x + 3) = 6 – 5x            2.  f(2x – 7) = 4x – 3            3.  f(2 – x) = x² – 10Menentukan  f(x)  atau  g(x)  jika diketahui komposisinya

Contoh:

1.  Jika  (f o g)(x) = 6x – 5  dan  f(x) = 2x + 1  maka  g(x) = ?

Jawab:

Cara 1 :  (f o g)(x)  dan  f(x)  linear ®  misal  g(x) = ax + b(f o g)(x) = f(g(x))6x – 5  =  2 (ax + b) + 1  =  2ax + 2b + 1†  g masuk ke f => 2a = 6  ®  a = 3 , 2b + 1 = –5 ®  b = –3didapat  g(x) = 3x – 3 , silakan cek  (f o g)(x) = . . . . ?

Cara 2 :  yg diketahui  (f o g)(x)  dan  f(x)(f o g)(x) = f(g(x))6x – 5  =  2 g + 1   , 2g = 6x – 6 , g(x) = 3x – 3

2.  Jika  (f o g)(x) = 6x – 5  dan   g(x) = 2x + 1  maka  f(x) = ?

Jawab:

Cara 1 :   (f o g)(x)  &  g(x)  linear  ®  misal  f(x) = ax + b(f o g)(x) = f(g(x)) maka  6x – 5  =  a(2x + 1) + b  =  2ax + a + b2a = 6  ®  a = 3          , a + b = –5   ®  b = –8didapat  f(x) = 3x – 8 , cek  (f o g)(x) = . . . . ?

Cara 2 :   yg diketahui (f o g)(x)  dan  g(x)misal g(x) = 2x + 1 = a maka x = (a-1)/2f(a) = 6(a-1)/2 -5f(x) = 3x – 8

buat latihan cobain nih !!!1.  Tentukan  f(x)  jika:            a.  (f o g)(x) = 4x + 7 ,  g(x) = 2x            b.  (f o g)(x) = x² + 3x – 6 , g(x) = x + 1            c.  (f o g)(x) = x² + 3x – 18 ; g(x) = 2 / (x+1)            d.  (f o g)(x – 2) = x² + x – 12 ,  g(x) = x + 32.  Tentukan  f(x)  jika:a.  (g o f)(x) = 4x + 7 , g(x) = 2xb.  (g o f)(x) = x² + 3x – 6 ,  g(x) = x + 1c.  (g o f)(x) = x² + 3x – 18 ; g(x) = 2 / (x+1)d.  (g o f)(x – 2) = x² + x – 12 ,  g(x) = x + 3


Okee, sekian materi yang saya bahas kali ini, mohon maaf bila banyak kekurangan
Terima Kasih