Transformasi Linier

Hello everyone, pada blog saya kali ini akan membahas tentang transformasi linier.

TRANSFORMASI LINIER
Andaikan F:V®W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. F dikatakan transformasi linier, jika :
(i). F(u+v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V
(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di V dan sembarang skalar k.
Contoh :
Misalkan,v=[x,y], dan T:R2®R2 adalah fungsi ynag didefinisikan oleh :
T(v) = [x–y,x+y]. Buktikanla T adalah transformasi linier.
Jawab.
Ambil, u=[x1,y1], v=[x2,y2], maka u+v=[x1+x2,y1+y2], ku=[kx1,ky1]. Sehingga
T(u+v) =T[(x1+x2,y1+y2)] = [(x1+x2) – (y1+y2),(x1+x2)+(y1+y2)]
            = [(x1–y1)+(x2–y2),(x1+y1)+(x2+y2)]
            = [(x1–y1),(x1+y1)] + [(x2–y2),(x2+y2)] = T(u) + T(v)
 T(ku) = T[kx1,ky1] = [(kx1– ky1),(kx1+ky1)]
           = [k(x1–y1),k(x1+y1)] = k[(x1–y1),(x1+y1)] = kT(u)
Menghitung Rumus T(x)
Misalkan S={u1,u2,…,un} adalah sebuah basis untuk ruang vektor V, dan T:V®W adalahtransformasi linier. Andaikan pula, T(u1), T(u2),…,T(un) adalah bayangan dari vektor basis S. Karena setiap vektor x di ruang vektor V dapat dituliskan menjadi,
x = k1u1 + k2u2 + … + knun
maka rumus transformasi linier semarang vektor x diberikan oleh :
T(x) = k1T(u1) + k2 T(u2) + … + kn T(un)
Contoh :
Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dimana u1=[1,1,1], u2=[1,0,1] dan u3=[1,2,2], dan T:R3®R2 transformasi linier. Andaikan T(u1)=[1,–1], T(u2)=[–1,2], danT(u3)=[2,1]. Carilahrumus T(x) dan hitunglah T([2,1,–1]).
Jawab
Misalkan, x=[x1,x2,x3] vektor di R3 bentuk x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau : 
k1[1,1,1] + k2[1,0,1] + k3[1,2,2] = [x1,x2,x3]
Dari kesamaan vektor diperoleh sistem persamaan linier :
k1 + k2 + k3 = x1
k1 +      2k3 = x2
k1 + k2 + 2k3 = x3
==>  
dengan demikian, 
[x1,x2,x3] = (2x1+x2–2x3)u1 + (–x2+x3)u2 + (–x1+x3)u3
Jadi, T([x1,x2,x3]) = (2x1+x2–2x3)T(u1) + (–x2+x3)T(u2) + (–x1+x3)T(u3)
T(x) = (2x1+x2–2x3)[1,–1] + (–x2+x3)[–1,2] + (–x1+x3)[2,1] 
= [(2x2–x3),(–3x1– 3x2+ 5x3)]
Dalam bentuk perkalian matrik diberikan oleh :
T(x) = [T(u1)T(u2)T(u3)][x]S

Geometri Transformasi Linier : T(x) = Ax
Rotasi : 
 




Refleksi terhadap sumbu y
 
Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi terhadap garis y = x
 

Ekspansi dan kompresi searah sumbu x
 
Ekspansi dan kompresi searah sumbu y
 
Pergeseran dalam arah x dengan faktor k
 

Pergeseran dalam arah y dengan faktor k


 

Matrik Transformasi Linier
Andaikan T:V®W transformasi linier, S={u1,u2,…,un} basis untuk V dan B={v1,v2,…,vn}basis untuk W. Untuk setiap vektor x di V, matrik koordinat  [x]S adalah vektor di V,sedangkan matrik koordinat [T(x)]B adalah vektor di W. Hubungan antara matrik koordinattersebut diberikan oleh :
                    A[x]S = [T(x)]B
dimana A disebut sebagai matrik T yang berkitan dengan basis S dan B. 
 
==>  
Dallam kasus khusus, T:V®V dan S=B, maka matrik A ditulis :
 
==>  
Menghitung T(x) secara tidak langsung
 
(1) Hitung [x]S or [x]B
(2) Hitung [T(x)]B= [T]S,B [x]S or [T]B[x]B
(3) Hitung T(x) dari [T(x)]B
Contoh
T:R3®R2 trnsformasi linier yang diberikan oleh :
Carilah matrik T dan [T(x)]B yang berkaitan dengan basis S={u1,u2,u3} dan B={v1,v2}.
u1=[1,1,1], u2=[1,1,0] dan u3=[1,2,3],dan v1=[1,–1], v2=[1,–2]
Jawab
Misalkan, x=[x1,x2,x3] vektor di R3 bentuk x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :
k1[1,1,1] + k2[1,1,0] + k3[1,2,3] = [x1,x2,x3]
atau :
k1 + k2 + k3 = x1
k1 + k2 + 2k3 = x2
k1 + 3k3 = x3
==> ==> 

Misalkan, z=[z1,z2] vektor di R2 bentuk z = k1v1 + k2v2, atau :
k1[1,–1] + k2[1,–2] = [z1,z2] ==> 

Menghitung [T]S,B
u1=[1,1,1] 
u2=[1,1,0]  
u3=[1,2,3]  

  
Menghitung [T(x)]B
[T(x)]B = [T]S,B[x]S =
Misal, x0=[3,1,2], maka : T(x0) = [6 – 2 + 2, 3 + 2 – 4] = [6,1]  
  
[T(x0)]B =  

T(x0) = 
Contoh
T:R3®R3 transformasi linier diberikan oleh : 
Carilah matrik T dan [T(x)]B yang berkaitan dengan basis B={u1,u2,u3}, dimana :

u1=[1,–1,1], u2=[0,1,1] dan u3=[1,1,2]
Jawab
Menghitung, [x]B. Misalkan, x=[x1,x2,x3] sembarang vektor di R3 bentuk kombinasi linier :x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :
k1[1,–1,1] + k2[0,1,1] + k3[1,1,2] = [x1,x2,x3]
 atau :

k1 + k3 = x1
–k1 + k2 + k3 = x2
k1 + k2 + 2k3 = x3
==> ==> 
Menghitung [T]B 

u2=[1,–1,1] 


Menghitung [T]B 

 

 

 
jadi,
 
 
Keserupaan
Misalkan T:V®V  transformasi linier pada ruang vektor V berdimensi berhingga. Jika, [T]Sadalah matrik T untuk basis S, dan [T]B adalah matrik T terhadap basis B, maka :
 
dimana P adalah matrk transisi dari B ke S
Dengan teorema diatas diperoleh  [T(x)]B = [T]B[x]B sebagai berikut :

Langkah-langkah menghitung [T( x)]B  :
§ Hitung matrik koordinat, [x]S
§  Hitung matrik transisi P dan P–1
§ Hitung matrik koordinat [x]B dengan rumus
             [x]B = P–1[x]S
§ Hitung matrik T terhadap basis S, [T]S
§ Hitung matrik T terhadap basis B,
             [T]B = P–1 [T]SP
§ Hitung [T(x)]B = [T]B[x]B

Contoh
T:R3®R3 transformasi linier diberikan oleh :

S={v1,v2,v3} dan B={u1,u2,u3}, adalah basis-basis untuk R3 dimana :

v1=[2,2,1], v2=[1,1,1] dan v3=[1,2,2]
u1=[1,–1,1], u2=[0,1,1] dan u3=[1,1,2]

Hitunglah [x]S, dan matrik transformasi linier, [T(x)]B secara tidak langsung
Jawab
Menghitung, [x]B. Misalkan, x=[x1,x2,x3] sembarang vektor di R3 bentuk kombinasi linier :x = k1v1 + k2v2 + k3v3, atau :
         k1[2,2,1] + k2[1,1,1] + k3[1,2,2] = [x1,x2,x3]
atau,
2k1 + k2 + k3 = x1
2k1 + k2 + 2k3 = x2
k1 + k2 + 2k3 = x3
==>  
 Menghitung P dan P–1
Matrik transisi, P =[ [u1]S [u2]S [u3]S]
u1=[1,–1,1]   

u2=[0,1,1]  

u3=[1,1,2]  

 

Karena, det(P) = 1 , maka : 
Menghitung [T]S = [ [T(v1)]S [T(v2)]S [T(v3)]S ]

 
 
 

 

 
 dengan demikian ,
 
Menghitung [x]B = P–1[x] 
[x]B = P–1[x]S = 

Menghitung matrik T terhadap basis B, [T]B = P–1 [T]SP
[T]B = P–1 [T]SP =
[T]B = P–1 [T]SP =

dengan demikian,

[T(x)]B = [T]B[x]B =



Contoh
T:R3®R3 trnsformasi linier yang diberikan oleh : 
S={u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}, adalah basis untuk R3 dimana :
u1=[a+1,b+2,a], u2=[a,b+1,a–1] ; u3=[b+1,a+1,b+2],
v1=[b+1,a+1,b], v2=[b,a,b–1],v3=[a+1,b+2,a+2],
(a)Hitung [T(x)]S dan [T(x)]B secara langsung
(b)Hitung [T(x)]S secara tidak langsung

(c)Hitung [T(x)]B secara tidak langsung
Sekian blog saya kali ini, semoga dapat bermanfaat:)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Kalkulus - Limit Trigonometri

Gambar
Hallo semuanyaa.. Pada blog saya kali ini akan menjelaskan materi tentang Limit Trigonometri Semoga bermanfaat :) Pengertian Limit Trigonometri Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah dulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilainya bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus menggunakan identitas tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang menggunakan identitas dan teorema. Jadi apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang mendekatinya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain. Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang bisa dipakai : Metode Numerik Subtitusi Pemfaktoran Kali Sekawan Menggunakan Turunan ...
Baca selengkapnya

Invers - Adjoint&OBE

Gambar
Haii semuaa! Pada blog saya kali ini, saya akan menjelaskan materi invers matriks dengan menggunakan metode adjoint dan OBE. Invers Matriks Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar   dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar   maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks). Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar   dan   akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).         Invers Matriks Ordo 2 x 2 Invers dari suatu matirks A     dinyatakan dalam rumus di bawah. Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut. Diketahui:     Tentukan invers dari matrik A! Pembahasan:                     Invers Matriks O...
Baca selengkapnya

Invers- Perkalian Matrik Elementer & Partisi

Gambar
Hello semua, pada blog saya kali ini, saya akan menjelaskan materi perkalian matrik elementer dan partisi Perkalian Matrik Elementer Contoh Soal : Tentukan invers matriks A =   dengan transformasi baris elementer. Jawaban : Partisi Matrik Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks. Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu. Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya. Latihan 5.2 (perkalian partisi) Diberikan Solusi : Jadikan Z 1   menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z 2   matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A 1 ...
Baca selengkapnya