Transformasi Linier
Hello everyone, pada blog saya kali ini akan membahas tentang transformasi linier.
TRANSFORMASI LINIER
Andaikan F:V®W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. F dikatakan transformasi linier, jika :
(i). F(u+v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V
(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di V dan sembarang skalar k.
Contoh :
Misalkan,v=[x,y], dan T:R2®R2 adalah fungsi ynag didefinisikan oleh :
T(v) = [x–y,x+y]. Buktikanla T adalah transformasi linier.
Jawab.
Ambil, u=[x1,y1], v=[x2,y2], maka u+v=[x1+x2,y1+y2], ku=[kx1,ky1]. Sehingga
T(u+v) =T[(x1+x2,y1+y2)] = [(x1+x2) – (y1+y2),(x1+x2)+(y1+y2)]
= [(x1–y1)+(x2–y2),(x1+y1)+(x2+y2)]
= [(x1–y1),(x1+y1)] + [(x2–y2),(x2+y2)] = T(u) + T(v)
T(ku) = T[kx1,ky1] = [(kx1– ky1),(kx1+ky1)]
= [k(x1–y1),k(x1+y1)] = k[(x1–y1),(x1+y1)] = kT(u)
Menghitung Rumus T(x)
Misalkan S={u1,u2,…,un} adalah sebuah basis untuk ruang vektor V, dan T:V®W adalahtransformasi linier. Andaikan pula, T(u1), T(u2),…,T(un) adalah bayangan dari vektor basis S. Karena setiap vektor x di ruang vektor V dapat dituliskan menjadi,
x = k1u1 + k2u2 + … + knun
maka rumus transformasi linier semarang vektor x diberikan oleh :
T(x) = k1T(u1) + k2 T(u2) + … + kn T(un)
Contoh :
Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dimana u1=[1,1,1], u2=[1,0,1] dan u3=[1,2,2], dan T:R3®R2 transformasi linier. Andaikan T(u1)=[1,–1], T(u2)=[–1,2], danT(u3)=[2,1]. Carilahrumus T(x) dan hitunglah T([2,1,–1]).
Jawab
Misalkan, x=[x1,x2,x3] vektor di R3 bentuk x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :
k1[1,1,1] + k2[1,0,1] + k3[1,2,2] = [x1,x2,x3]
Dari kesamaan vektor diperoleh sistem persamaan linier :
k1 + k2 + k3 = x1
k1 + 2k3 = x2
k1 + k2 + 2k3 = x3
==> 
dengan demikian,
[x1,x2,x3] = (2x1+x2–2x3)u1 + (–x2+x3)u2 + (–x1+x3)u3
Jadi, T([x1,x2,x3]) = (2x1+x2–2x3)T(u1) + (–x2+x3)T(u2) + (–x1+x3)T(u3)
T(x) = (2x1+x2–2x3)[1,–1] + (–x2+x3)[–1,2] + (–x1+x3)[2,1]
= [(2x2–x3),(–3x1– 3x2+ 5x3)]
Dalam bentuk perkalian matrik diberikan oleh :
T(x) = [T(u1)T(u2)T(u3)][x]S
Geometri Transformasi Linier : T(x) = Ax
Rotasi : 
Refleksi terhadap sumbu y
Refleksi terhadap sumbu x
Refleksi terhadap garis y = x
Ekspansi dan kompresi searah sumbu x
Ekspansi dan kompresi searah sumbu y
Pergeseran dalam arah x dengan faktor k
Pergeseran dalam arah y dengan faktor k
Matrik Transformasi Linier
Andaikan T:V®W transformasi linier, S={u1,u2,…,un} basis untuk V dan B={v1,v2,…,vn}basis untuk W. Untuk setiap vektor x di V, matrik koordinat [x]S adalah vektor di V,sedangkan matrik koordinat [T(x)]B adalah vektor di W. Hubungan antara matrik koordinattersebut diberikan oleh :
A[x]S = [T(x)]B
dimana A disebut sebagai matrik T yang berkitan dengan basis S dan B.
==> 
Dallam kasus khusus, T:V®V dan S=B, maka matrik A ditulis :
==>
Menghitung T(x) secara tidak langsung
(1) Hitung [x]S or [x]B
(2) Hitung [T(x)]B= [T]S,B [x]S or [T]B[x]B
(3) Hitung T(x) dari [T(x)]B
Contoh
T:R3®R2 trnsformasi linier yang diberikan oleh :
Carilah matrik T dan [T(x)]B yang berkaitan dengan basis S={u1,u2,u3} dan B={v1,v2}.
u1=[1,1,1], u2=[1,1,0] dan u3=[1,2,3],dan v1=[1,–1], v2=[1,–2]
Jawab
Misalkan, x=[x1,x2,x3] vektor di R3 bentuk x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :
k1[1,1,1] + k2[1,1,0] + k3[1,2,3] = [x1,x2,x3]
atau :
k1 + k2 + k3 = x1
k1 + k2 + 2k3 = x2
k1 + 3k3 = x3
==> 
==> 
Misalkan, z=[z1,z2] vektor di R2 bentuk z = k1v1 + k2v2, atau :
k1[1,–1] + k2[1,–2] = [z1,z2] ==> 
Menghitung [T]S,B
u1=[1,1,1] 
u2=[1,1,0] 
u3=[1,2,3] 
Menghitung [T(x)]B
[T(x)]B = [T]S,B[x]S =
Misal, x0=[3,1,2], maka : T(x0) = [6 – 2 + 2, 3 + 2 – 4] = [6,1] 
[T(x0)]B = 
T(x0) = 
Contoh
T:R3®R3 transformasi linier diberikan oleh : 
Carilah matrik T dan [T(x)]B yang berkaitan dengan basis B={u1,u2,u3}, dimana :
u1=[1,–1,1], u2=[0,1,1] dan u3=[1,1,2]
Jawab
Menghitung, [x]B. Misalkan, x=[x1,x2,x3] sembarang vektor di R3 bentuk kombinasi linier :x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :
k1[1,–1,1] + k2[0,1,1] + k3[1,1,2] = [x1,x2,x3]
atau :
k1 + k3 = x1
–k1 + k2 + k3 = x2
k1 + k2 + 2k3 = x3
==> 
==> 
==>
Menghitung [T]B
u2=[1,–1,1] 
Menghitung [T]B
jadi,
Keserupaan
Misalkan T:V®V transformasi linier pada ruang vektor V berdimensi berhingga. Jika, [T]Sadalah matrik T untuk basis S, dan [T]B adalah matrik T terhadap basis B, maka :
dimana P adalah matrk transisi dari B ke S
Dengan teorema diatas diperoleh [T(x)]B = [T]B[x]B sebagai berikut :
Langkah-langkah menghitung [T( x)]B :
§ Hitung matrik koordinat, [x]S
§ Hitung matrik transisi P dan P–1
§ Hitung matrik koordinat [x]B dengan rumus
[x]B = P–1[x]S
§ Hitung matrik T terhadap basis S, [T]S
§ Hitung matrik T terhadap basis B,
[T]B = P–1 [T]SP
§ Hitung [T(x)]B = [T]B[x]B
Contoh
T:R3®R3 transformasi linier diberikan oleh :
S={v1,v2,v3} dan B={u1,u2,u3}, adalah basis-basis untuk R3 dimana :
v1=[2,2,1], v2=[1,1,1] dan v3=[1,2,2]
u1=[1,–1,1], u2=[0,1,1] dan u3=[1,1,2]
Hitunglah [x]S, dan matrik transformasi linier, [T(x)]B secara tidak langsung
Jawab
Menghitung, [x]B. Misalkan, x=[x1,x2,x3] sembarang vektor di R3 bentuk kombinasi linier :x = k1v1 + k2v2 + k3v3, atau :
k1[2,2,1] + k2[1,1,1] + k3[1,2,2] = [x1,x2,x3]
atau,
2k1 + k2 + k3 = x1
2k1 + k2 + 2k3 = x2
k1 + k2 + 2k3 = x3
==>
Menghitung P dan P–1
Matrik transisi, P =[ [u1]S [u2]S [u3]S]
u1=[1,–1,1] 
u2=[0,1,1] 
u3=[1,1,2] 
Karena, det(P) = 1 , maka : 
Menghitung [T]S = [ [T(v1)]S [T(v2)]S [T(v3)]S ]
dengan demikian ,
Menghitung [x]B = P–1[x]
[x]B = P–1[x]S = 
Menghitung matrik T terhadap basis B, [T]B = P–1 [T]SP
[T]B = P–1 [T]SP =
[T]B = P–1 [T]SP =
dengan demikian,
[T(x)]B = [T]B[x]B =
Contoh
T:R3®R3 trnsformasi linier yang diberikan oleh :
S={u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}, adalah basis untuk R3 dimana :
u1=[a+1,b+2,a], u2=[a,b+1,a–1] ; u3=[b+1,a+1,b+2],
v1=[b+1,a+1,b], v2=[b,a,b–1],v3=[a+1,b+2,a+2],
(a)Hitung [T(x)]S dan [T(x)]B secara langsung
(b)Hitung [T(x)]S secara tidak langsung
(c)Hitung [T(x)]B secara tidak langsung
Sekian blog saya kali ini, semoga dapat bermanfaat:)
Komentar
Posting Komentar