Basis dan dimensi

Hallo semua, kali ini saya akan membahas materi tentang basis dan dimensi.

Ruang-n Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilanganberurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn).Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-nEucides dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.

§ u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn

§ u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]

§ ku = [ku1, ku2,…, kun]

§ u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

§ |u| = (u•u)1/2 = 

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor,bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

   
(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u 

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u

(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u 

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u 

Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                     x = k1u1+ k2u2 +… + knun

dimana k1, k2,…,kn adalah skalar

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linierdari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v

       [8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2]         => x = 3u + 2v

Dari kesamaan vektor diperoleh

2k1 + k2 = 8

-k1 + 2k2 = 1    

3k1 – 2k2 = 5

==>  ==> ==>k1 = 3 k2 = 2

Membangun Ruang Vektor

Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jikasetiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linieru1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruangvektor V 

Contoh :

Apakah, u=[1,2,-1], v=[-2,3,3], w=[1,1,2] membangun R3.

Jawab

Andaikan x=[x1,x2,x3] vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w

[x1,x2,x3] = k1[1,2,-1] + k2[-2,3,3] + k3[1,1,2]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier,

k1 – 2k2 + k3 = x1

2k1 + 3k2 + k3 = x2

–k1 + 3k2 + 2k3 = x3 

==> ==> u, v, w membangun R3.

Kebebasan Linier

Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakanbebas linier bilamana kombinasi linier :

                k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jikaada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebaslinier.

  

Contoh : 

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3], u2=[1,2,-6], u3=[10,5,-15] adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3 

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2], u2=[-2,3,1],u3=[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0,ekuivalen,

 

k1 – 2k2 + 2k3 = 0

–k1 + 3k2 + k3 = 0

2k1 + k2 + 3k3 = 0 

==> ==> u1, u2, u3 bebas linier 

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un}adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakanbasis untuk ruang V jika :

§ S bebas linier

§ S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruangvektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruangvektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagaibanyaknya vektor pada basis V.

  

Contoh :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalahbasis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentukbasis B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga.

Contoh

Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] dan u3=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + k3u3 = x

k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier

 

k1 + 2k2 + k3 = x1

2k1 + k2 + 3k3 = x2

2k1 + 2k2 + 3k3 = x3

==> ==>  

Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

 

Ruang Hasil Kali Dalam

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil Vadalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] denganmasing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikianrupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

§ [u,v] = [v,u]    (aksioma simetri)

§ [u+v,w] = [u,w] + [v,w]    (aksioma penambahan)

§ [ku,v] = k[u,v]    (aksioma kehomogenan)

§ [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0   (aksioma kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektorpada Rn, maka :

                  [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan vdikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadapsetiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakanortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalamhimpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yangsetiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1].Himpunan S adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

Catatan :

§Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuksebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarangvektor di V, maka :

                x = [x,u1]u1  + [x,u2]u2 +  … + [x,un]un  

§Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunanortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,unmaka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x =v + w dimana :

            v = [v,u1]u1  + [v,u2]u2 +  … + [v,un]un   

Proses Gram-Schmidt

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol,mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V,algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untukV adalah :

Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|

Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus :

 

  Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus

 

Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :

  Contoh :

Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dengan u1=[1,0,1], u2=[1,1,-1], dan u3=[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={v1,v2,v3}untuk R3.

Jawab

Langkah 1. Ambil : 

 

Langkah 2. v2 = x2/|x2|, dengan x2 = u2 – [u2,v1]v1

 

[u2,v1]=[1,1,-1]•Jadi, x2 = u2 ,

 

Langkah 3. v3 = x3/|x3|, dengan x3 = u3 – [u3,v1]v1 – [u3,v2]v2

[u3,v1]=[-2,1,2]•dan [u3,v2]=[-2,1,2]•

= [–1,2,1]

jadi,  

Koordinat dan Perubahan Basis

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang vektor V, maka setiapvektor x yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggaldalam bentuk kombinasi linier, yakni

                     x = k1u1 + k2u2 + … + knvn

Skalar-skalar k1, k2,…,kn disebut koordinat x relatif terhadap basis S.Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis (x)S didefinisikan,

                    (x)S =[k1,k2,…,kn]

Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [x]S didefinisikan oleh :

  

B={i,j} maka x = 5i + 6j maka :

   (x)B = (5,6),

 

S={u,v} maka x = 2u + v maka :

    (x)S = (2,1)

 

Contoh :

B={v1,v2,v3} basis untuk R3, dimana v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika (x)B=[2,1,-3] hitunglah x, dan jika x=[2,1,–3] berapa[x]B.

Jawab :

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1v1 + k2v2 + k3v3 = x,atau :

k1[2,1,2] + k2[3,2,2] + k3[1,2,–1 ] = [x1,x2,x3]

 

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

2k1 + 3k2 + k3 = x1

k1 + 2k2 + 2k3 = x2

2k1 + 2k2 – k3 = x3

==> ==> ==>  

Jika, (x)B = [2,1,-3], maka :                        Jika, x = [2,1,-3], maka :

      

 

Perubahan Basis

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrikkoordinat x relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatifterhadap basis B. Hubungan antara [x]S dan [x]B diberikan olehpersamaan : [X]s=P[X]B dan atau

 

P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimanakolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektorbasis baru relatif terhadap basis lama, yaitu :

 

Contoh :

S={u1,u2,u3} basis lama dan B={v1,v2,v3} basis baru untuk R3,dimana u1=[1,–1,–1], u2=[–1,2,3], u3=[1,1,2], dan v1=[2,1,2],v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika x=[2,-1,3] berapa [x]B secara tidaklangsung.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1u1 + k2u2 + k3u3 = x,atau :

k1[1,–1,–1] + k2[–1,2,3] + k3[1,1,2 ] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

 ==>

 

 

Untuk v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P-1,yaitu :

 

==>  

dengan demikian, 

 

 

 

 

 

Sekian dari saya, mohon maaf bila banyak kekurangan. Semoga bermanfaat:)